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小学数学裂项法

来源:www.sppays.com 时间:2024-05-16 12:20:29 作者:拔萃小学网 浏览: [手机版]

小学数学中,我们经常会遇到一些数列求和的问题拔.萃.小.学.网果数列的通项公式比较复杂,直接求和可能会比较困难。这时,我们可以使用裂项法化问题,使得求和变得更加容

裂项法的基本思想将数列中的每一项拆分两个分,然后将这些分分别相加kZHH。具体来说,我们可以将数列中的每一项表示为$a_n = b_n + c_n$,其中$b_n$和$c_n$都比较容求和的数列。然后,我们就可以将原数列的求和问题转化为$b_n$和$c_n$的求和问题。

下面,我们来一个例子,说明何使用裂项法来化数列求和问题拔_萃_小_学_网

  例子:求和数列$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}$。

解:我们可以将数列中的每一项拆分两个分,即:

  $$\frac{1}{2n-1} = \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n}$$

  这里,$b_n = \frac{1}{2n}$,$c_n = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n}$。于,原数列的求和问题就可以转化为$b_n$和$c_n$的求和问题拔~萃~小~学~网。具体来说,我们有:

  $$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{5} \frac{1}{2n-1} &= \sum_{n=1}^{5} \left(\frac{1}{2n} + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n}\right) \\ &= \sum_{n=1}^{5} \frac{1}{2n-1} - \sum_{n=1}^{5} \frac{1}{2n} + \sum_{n=1}^{5} \frac{1}{2n-1} \\ &= 2\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{2n-1} - \sum_{n=1}^{5} \frac{1}{2n} \end{aligned}$$

现在,我们只需要计算$b_n$和$c_n$的求和即可。于$b_n = \frac{1}{2n}$一个等差数列,我们可以使用等差数列求和公式,得到:

  $$\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{n} = \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right) = \frac{137}{120}$$

小学数学裂项法(1)

  而$c_n = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n}$可以化为$\frac{1}{n(2n-1)}$,一个比较容求和的数列。我们可以使用分分式分解的方法,将$c_n$表示为:

  $$c_n = \frac{1}{n(2n-1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n-1}$$

,我们有:

  $$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{5} c_n &= \sum_{n=1}^{5} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{2n-1}\right) \\ &= \left(1-\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{5}-\frac{1}{9}\right) \\ &= \frac{97}{90} \end{aligned}$$

  最后,我们将$b_n$和$c_n$的求和结果代原式,得到:

$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{5} \frac{1}{2n-1} &= 2\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{2n-1} - \sum_{n=1}^{5} \frac{1}{2n} \\ &= 2\cdot \frac{97}{90} - \frac{137}{120} \\ &= \frac{31}{36} \end{aligned}$$

  因,数列$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}$的和为$\frac{31}{36}$来自www.sppays.com

通过这个例子,我们可以到,裂项法可以帮助我们化数列求和问题,使得求解变得更加容。在实际应用中,我们可以根据数列的特点,灵活地选择拆分方式,以达到最佳的求解效果。

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